疫学研究分析システム (完全版)

$$e_i(X_i) = P(T_i = j | X_i) = \frac{\exp(\beta_j^T X_i)}{\sum_{k=0}^{2} \exp(\beta_k^T X_i)}$$ ここで：
・$T_i$: 個体$i$の治療群（0: コントロール, 1: 介入, 2: 準介入）
・$X_i$: 個体$i$の共変量ベクトル
・$\beta_j$: 治療群$j$の回帰係数ベクトル
・$e_i(X_i)$: 個体$i$の傾向スコア

IPW重み:
$$w_i = \frac{P(T_i = t)}{e_i(X_i)} = \frac{\hat{\pi}_t}{\hat{e}_i(X_i)}$$ 標準化差分:
$$d = \frac{|\bar{X}_{t1} - \bar{X}_{t2}|}{\sqrt{\frac{s_{t1}^2 + s_{t2}^2}{2}}}$$ ここで：
・$\hat{\pi}_t$: 治療群$t$の周辺確率
・$\hat{e}_i(X_i)$: 推定傾向スコア
・$\bar{X}_{t}$: 治療群$t$の共変量平均
・$s_{t}^2$: 治療群$t$の共変量分散

最近傍マッチング距離:
$$d_{ij} = |e_i - e_j|$$ キャリパーマッチング:
$$d_{ij} \leq c \cdot \sigma_e$$ 層別化（K層）:
$$S_k = \{i: q_{k-1} < e_i \leq q_k\}$$ ここで：
・$e_i$: 個体$i$の傾向スコア
・$c$: キャリパー幅係数（通常0.1-0.25）
・$\sigma_e$: 傾向スコアの標準偏差
・$q_k$: $k$番目の分位点

F統計量:
$$F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \frac{\frac{SS_{between}}{k-1}}{\frac{SS_{within}}{N-k}}$$ 群間平方和:
$$SS_{between} = \sum_{j=1}^{k} n_j(\bar{Y}_j - \bar{Y})^2$$ 群内平方和:
$$SS_{within} = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} (Y_{ij} - \bar{Y}_j)^2$$ ここで：
・$k$: 群数（3群）
・$n_j$: 群$j$のサンプル数
・$\bar{Y}_j$: 群$j$の平均
・$\bar{Y}$: 全体平均

ATE (Average Treatment Effect):
$$\tau_{ATE} = E[Y(1) - Y(0)] = E[Y(1)] - E[Y(0)]$$ IPW推定量:
$$\hat{\tau}_{ATE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{T_i \cdot Y_i}{e_i} - \frac{(1-T_i) \cdot Y_i}{1-e_i}\right)$$ ATT (Average Treatment Effect on Treated):
$$\tau_{ATT} = E[Y(1) - Y(0) | T = 1]$$ ATC (Average Treatment Effect on Controls):
$$\tau_{ATC} = E[Y(1) - Y(0) | T = 0]$$ ここで：
・$Y(1), Y(0)$: 潜在的結果変数
・$T_i$: 治療指示変数
・$e_i$: 傾向スコア

E-value（点推定値用）:
$$E_{point} = RR + \sqrt{RR \times (RR - 1)}$$ E-value（信頼区間用）:
$$E_{CI} = RR_{lower} + \sqrt{RR_{lower} \times (RR_{lower} - 1)}$$ ここで：
・$RR$: リスク比
・$RR_{lower}$: 信頼区間の下限

層別治療効果:
$$\hat{\tau}_s = \frac{\sum_{i \in S_s} w_i T_i Y_i}{\sum_{i \in S_s} w_i T_i} - \frac{\sum_{i \in S_s} w_i (1-T_i) Y_i}{\sum_{i \in S_s} w_i (1-T_i)}$$ 異質性検定（Q統計量）:
$$Q = \sum_{s=1}^{S} w_s(\hat{\tau}_s - \hat{\tau}_{pooled})^2$$ I²統計量:
$$I^2 = \max\left(0, \frac{Q - (S-1)}{Q} \times 100\%\right)$$ ここで：
・$S_s$: 層$s$に属する個体の集合
・$w_i$: IPW重み
・$w_s$: 層$s$の重み
・$S$: 総層数